Slovní úlohy – práce a výkon

Úlohy o práci a výkonu představují jednu z nejhorších „past" CERMAT testů — protože nezkušený žák se snaží počítat časy „selským rozumem" (průměrovat, dělit, sčítat), což skoro vždycky vede ke špatnému výsledku. Klíč k téhle kategorii je nepočítat časy, ale tempa (výkony). Když si jednou nastavíš tento „přepínač" v hlavě, všechny úlohy o práci, plnění bazénů, natírání plotů a balení dárků se promění v jednoduchou aritmetiku se zlomky.

Co se v této kategorii naučíš

Výkon jednoho pracovníka — vyjádření tempa práce jako „kolik za 1 hodinu", přepočet z jiného časového úseku.

Společná práce dvou pracovníků — sčítání výkonů ve formě zlomků, výpočet doby společné práce.

Více pracovníků stejného výkonu — nepřímá úměra: víc pracovníků = méně času (a obráceně).

Přítok a odtok u bazénu nebo nádrže — odečítání výkonů, výpočet čisté rychlosti plnění.

Část práce už hotová — výpočet zbývajícího času pro nového pracovníka.

Slovní úlohy v kontextu — natírání plotu, kopání zahrady, plnění bazénu, balení dárků, pečení.

Princip „výkon, ne čas"

Hlavní mantra této kategorie zní: nesčítej časy, ale výkony. Co tím myslíme?

Špatně: „Petr práci zvládne za 6 h, Pavel za 3 h. Společně tedy za (6 + 3) ÷ 2 = 4,5 h." Tahle úvaha je úplně mimo.

Správně: Petr za 1 h zvládne 1/6 práce. Pavel za 1 h zvládne 1/3 práce. Společně za 1 h zvládnou 1/6 + 1/3 = 1/2 práce. Celou práci tedy zvládnou za 1 ÷ (1/2) = 2 hodiny.

Klíčové dvouvkrokový postup:

1. Z času (jak dlouho práce trvá) udělej zlomek (kolik práce za 1 jednotku času).
2. Sečti (nebo odečti) zlomky.
3. Z výsledného zlomku se vrať na čas: 1 ÷ tempo.

Sčítání nebo odčítání? Pohled napříč úlohami

Stejně jako u pohybových úloh rozhoduje, jestli oba „pracovníci" táhnou za jeden konec, nebo proti sobě:

Sčítáme výkony, když oba pracují na stejné věci stejným směrem:
• Dva natěrači natírají stejný plot.
• Dvě stěhovací auta vozí stejný náklad.
• Dvě potrubí napouštějí stejný bazén.

Odečítáme výkony, když jeden „pracuje proti" druhému:
• Přítok plní bazén, odtok ho vypouští.
• Voda přitékající a voda odpařující se.
• Pracovník přidávající knihy na regál a jiný odnášející staré.

Pravidlo: pokud oba dělají to samé, sčítej. Pokud jeden něco přidává a druhý ubírá, odečítej (přidávající − ubírající).

Jak souvisí s dalšími tématy

Pracovní úlohy nutně spočívají na zlomcích — bez dobrého zvládnutí zlomků se v této kategorii neobejdeš. Sčítání a odčítání zlomků se stejným i různým jmenovatelem se uplatní v každé úloze. Pohybové úlohy používají úplně stejný princip „sčítání nebo odčítání rychlostí", jen tam jsou „rychlosti" místo „výkonů". A čas a kalendář ti pomůže pracovat s časovými intervaly v hodinách a minutách.