Dva cyklisté proti sobě
Tomáš a Anička bydlí v sousedních vesnicích vzdálených 30 km. V sobotu se domluvili, že si vyjedou na kolech naproti — vyrazí oba ve stejnou chvíli, v 9:00.
Tomáš jede průměrnou rychlostí 12 km/h, Anička je rychlejší a jede 18 km/h.
a) Jak rychle se k sobě cyklisté přibližují (jejich „rychlost přibližování")?
b) Za jak dlouho se potkají?
c) V kolik hodin se setkají?
d) Jak daleko od Tomášovy vesnice se setkají?
Zobrazit řešení
Tato úloha je klasická situace „proti sobě". Když se dva objekty pohybují proti sobě, jejich vzdálenost klesá rychlostí, která je součtem jejich jednotlivých rychlostí.
Představ si to logicky: každou hodinu Tomáš ujede 12 km směrem k Aničce, a Anička ujede 18 km směrem k Tomášovi. Vzdálenost mezi nimi se každou hodinu zkrátí o 12 + 18 = 30 km. Tomu se říká rychlost přibližování.
Pro výpočet doby setkání použiješ stejný vzorec jako jindy:
čas = vzdálenost ÷ rychlost přibližování
Pro výpočet místa setkání si stačí spočítat, kolik za tu dobu ujel jeden z cyklistů.
-
Rychlost přibližování.
Sčítáme rychlosti obou cyklistů:
12 + 18 = 30 km/h.
Cyklisté se k sobě přibližují rychlostí 30 km za hodinu. -
Doba do setkání.
Vzdálenost: 30 km. Rychlost přibližování: 30 km/h.
t = 30 ÷ 30 = 1 hodina.
Cyklisté se potkají za 1 hodinu od chvíle, kdy vyrazili. -
Čas setkání.
Vyjeli v 9:00, potkají se za 1 hodinu.
9:00 + 1:00 = 10:00.
Potkají se v 10:00. -
Vzdálenost od Tomášovy vesnice.
Tomáš jel 1 hodinu rychlostí 12 km/h.
Vzdálenost, kterou ujel: 12 × 1 = 12 km.
Cyklisté se tedy setkají 12 km od Tomášovy vesnice.
Kontrola: Anička za stejnou dobu ujela 18 × 1 = 18 km od své vesnice. 12 km + 18 km = 30 km = původní vzdálenost. ✓
a) Cyklisté se k sobě přibližují rychlostí 30 km/h.
b) Potkají se za 1 hodinu.
c) Setkání proběhne v 10:00.
d) Místo setkání je 12 km od Tomášovy vesnice (a 18 km od Aničiny vesnice).
Častá chyba č. 1: Místo součtu rychlostí se počítá průměr nebo rozdíl. Žák napíše „rychlost přibližování = (12+18)/2 = 15 km/h" nebo „18−12 = 6 km/h". Obě tyto úvahy jsou špatně. Při pohybu proti sobě se rychlosti sčítají. Pomůcka: představ si, že stojíš na místě a sledujís dva auto-objekty, které jedou proti sobě. Vzdálenost mezi nimi klesá rychleji, než kdyby se jeden z nich nehybno stál — protože oba se k sobě přibližují.
Častá chyba č. 2: Předpoklad, že se setkají uprostřed. Pokud by oba jeli stejnou rychlostí, setkali by se přesně uprostřed. Ale když má jeden jinou rychlost než druhý, místo setkání není uprostřed — je blíž k tomu, kdo jede pomaleji. V naší úloze jede Tomáš pomaleji, takže místo setkání je blíž k jeho vesnici (12 km vs 18 km od jejich startů).
Tip pro CERMAT: U úloh „proti sobě" si nakresli vodorovnou úsečku znázorňující vzdálenost. Vyznač na koncích oba startovní body a u každého napiš rychlost. Šipky směřující k sobě. Mezi nimi vyznač místo setkání. Vizualizace ti pomůže nezaměnit směry.
Pomůcka „kontrola": Po výpočtu místa setkání vždy spočítej, kolik ujel každý z objektů, a sečti. Součet musí být roven původní vzdálenosti. Pokud ne, někde je chyba.