Tomáš a Vojta a kapesné
Tomáš a Vojta dostali od mámy úkol: spočítat výraz
30 − 4 × 6 + 18 ÷ 3
Tomáš tvrdí, že výsledek je 12. Vojta tvrdí, že je to 58.
a) Kdo má pravdu? Spočítej výraz krok za krokem a vysvětli, kde druhý udělal chybu.
b) Stejná čísla, ale jiné závorky: spočítej výraz 30 − (4 × 6 + 18) ÷ 3.
c) A ještě jednou stejná čísla: spočítej (30 − 4) × 6 + 18 ÷ 3.
Porovnej výsledky z částí a), b) a c) — jak velký rozdíl umí udělat závorky?
Zobrazit řešení
Tato úloha procvičuje pořadí matematických operací a ukazuje, jak obrovský vliv mají závorky na výsledek. Pravidlo, které si musíš pevně zapamatovat:
1. Závorky — co je v závorkách, počítáme jako první.
2. Násobení a dělení — mají přednost před sčítáním a odčítáním. Mezi sebou jsou si rovny — počítáme je v pořadí zleva doprava.
3. Sčítání a odčítání — počítáme až nakonec, taky zleva doprava.
Vojtova chyba ve výrazu z části a) je klasická: počítá všechno zleva doprava, jako kdyby žádná přednost neexistovala. To je nejčastější začátečnická chyba.
-
Část a) — 30 − 4 × 6 + 18 ÷ 3.
Žádné závorky, proto začínáme operacemi s přednosti — násobení a dělení:
4 × 6 = 24
18 ÷ 3 = 6
Dosadíme zpět: 30 − 24 + 6.
Teď zleva doprava: 30 − 24 = 6, pak 6 + 6 = 12.
Tomáš má pravdu — výsledek je 12.
Kde se Vojta spletl? Spočítal výraz mechanicky zleva doprava bez ohledu na přednost: 30 − 4 = 26, 26 × 6 = 156, 156 + 18 = 174, 174 ÷ 3 = 58. To by platilo jedině v případě, že by celý výraz měl závorky kolem každé operace zleva — ale ty tam nejsou. -
Část b) — 30 − (4 × 6 + 18) ÷ 3.
Začínáme tím, co je v závorkách. Uvnitř závorek je 4 × 6 + 18 — i tady platí přednost: 4 × 6 = 24, pak 24 + 18 = 42.
Dosadíme: 30 − 42 ÷ 3.
Dělení má přednost: 42 ÷ 3 = 14.
Zbývá: 30 − 14 = 16. -
Část c) — (30 − 4) × 6 + 18 ÷ 3.
V závorce je jednoduché odčítání: 30 − 4 = 26.
Dosadíme: 26 × 6 + 18 ÷ 3.
Násobení a dělení: 26 × 6 = 156, 18 ÷ 3 = 6.
Sčítání: 156 + 6 = 162. -
Srovnání.
Tři výrazy se stejnými čísly a stejnými operátory daly 12, 16 a 162. Jenom díky odlišnému umístění závorek se výsledek liší o desítky až stovky. To je důvod, proč musíš závorky vždy respektovat.
a) Pravdu má Tomáš — výsledek je 12. Vojta počítal zleva doprava bez ohledu na přednost násobení a dělení.
b) 30 − (4 × 6 + 18) ÷ 3 = 16
c) (30 − 4) × 6 + 18 ÷ 3 = 162
Stejná čísla, různé závorky → výsledky 12, 16, 162.
Častá chyba č. 1: Počítání zleva doprava bez ohledu na přednost. „Když je výraz napsaný, čtu ho jako větu zleva doprava." — to platí pro slova, ne pro matematické výrazy. Násobení a dělení mají přednost vždy, ať jsou v řádku kdekoli. Pomůcka: zakroužkuj si v zadání všechna × a ÷ a spočítej je nejdřív.
Častá chyba č. 2: Přednost mezi sebou. Někteří žáci si myslí, že násobení má přednost před dělením („nejdřív vše × a teprve potom všechno ÷"). To není pravda. × a ÷ jsou si rovny a počítáme je v pořadí, v jakém stojí, zleva doprava. Stejně tak + a − jsou si rovny.
Tip pro CERMAT: U výrazu s mnoha operacemi si udělej pomocné podtržení: nejdřív podtrhni násobení a dělení a spočítej je. Pak prohlas tyto mezivýsledky za nová čísla a počítej sčítání a odčítání zleva doprava. Tento systematický postup tě ochrání před nahodilými chybami.
Pomůcka „závorka před vším": Pokud někde uvidíš závorky, co je v nich vyřeš úplně první — ať tam je cokoli. Závorka má vždy přednost před všemi ostatními pravidly.