Z cifer 1 – 5 stavíme čísla
Máme k dispozici cifry 1, 2, 3, 4, 5. Z nich chceme sestavovat dvojciferná čísla (tedy čísla od 10 do 99).
a) Kolik různých dvojciferných čísel lze sestavit, pokud se cifry mohou opakovat (například 11, 22, 12, …)?
b) Kolik různých dvojciferných čísel lze sestavit, pokud se cifry nesmí opakovat (například 12, 13, …, ale ne 11)?
c) Z čísel v části b) (cifry se nesmí opakovat) — kolik z nich je sudých?
Zobrazit řešení
Tato úloha procvičuje pravidlo součinu v různých variantách — s opakováním, bez opakování, a s dodatečnou podmínkou (sudé číslo).
Klíčový princip:
1. Vyber pozice (zde dvě: desítky a jednotky).
2. Pro každou pozici urči, kolik je možností dosadit cifru.
3. Vynásob počty možností.
S opakováním: každá pozice má všechny 5 cifer jako možnost, nezávisle na ostatních. Celkem 5 × 5 = 25.
Bez opakování: první pozice má 5 možností. Druhá už jen 4 (protože jednu jsme „použili"). Celkem 5 × 4 = 20.
S podmínkou „sudé": sudé číslo končí cifrou 0, 2, 4, 6 nebo 8. Z naší sady (1-5) jsou sudé jen 2 a 4. Tedy pro jednotky máme jen 2 možnosti. Pro desítky pak 4 možnosti (5 cifer mínus ta, kterou jsme použili v jednotkách). Celkem 4 × 2 = 8.
-
S opakováním cifer.
Dvojciferné číslo má dvě pozice: desítky a jednotky.
Pro desítky: 5 možností (1, 2, 3, 4, 5).
Pro jednotky: 5 možností (cifry se mohou opakovat, takže i tu, co je v desítkách).
Celkem: 5 × 5 = 25 čísel.
Příklady: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, …, 55. -
Bez opakování cifer.
Pro desítky: 5 možností.
Pro jednotky: jen 4 možnosti (jednu cifru jsme „použili" v desítkách, nemůžeme ji opakovat).
Celkem: 5 × 4 = 20 čísel.
Příklady: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, …, 54. (Žádné 11, 22, 33, 44, 55.) -
Sudá čísla (bez opakování).
Aby bylo číslo sudé, musí mít na pozici jednotek sudou cifru. Z cifer 1-5 jsou sudé pouze 2 a 4. Tedy:
Pro jednotky: 2 možnosti (2 nebo 4).
Pro desítky: 4 možnosti (z 5 cifer mínus ta, kterou jsme dali do jednotek).
Celkem: 4 × 2 = 8 sudých čísel.
Vypsání: 12, 32, 42, 52, 14, 24, 34, 54. Skutečně 8 čísel ✓.
a) S opakováním: 25 čísel (5 × 5).
b) Bez opakování: 20 čísel (5 × 4).
c) Sudých čísel (bez opakování): 8 čísel (4 × 2).
Častá chyba č. 1: Záměna „s opakováním" a „bez opakování". Vždy si pozorně přečti zadání a podtrhni si, zda lze opakovat. Liší se to o pár čísel, ale dělá to v testu velký rozdíl.
Častá chyba č. 2: Při „sudých" cifrách žák zapomene odečíst případy. Pokud sudá cifra musí být na jedné pozici, sníží to počet možností pro druhou pozici (protože tu sudou cifru už jsme „použili" v sudé pozici, pokud platí pravidlo bez opakování). Pozor na pořadí, ve kterém pozice „obsazuješ".
Tip pro CERMAT: U úloh „kolik čísel lze sestavit z cifer" si vždy nejdřív rozeber pozice (desítky, jednotky, případně stovky), zvol pořadí obsazování (obvykle podle podmínky — když je podmínka „sudé", začneš jednotkami), a pak postupně počítej možnosti.
Pomůcka „obsazování pozic": Když máš podmínku jen na jednu pozici (např. „sudé"), nejdřív obsaď tu pozici (omezenou). Když máš podmínky na více pozicí (např. „sudé a začíná na 3"), prováděj průniky: jednotky musí být sudé, desítky musí být 3 — celkem 1 × 2 = 2 čísla (32 a 34).
Bonus — trojciferná čísla z cifer 1-5:
• S opakováním: 5 × 5 × 5 = 125 čísel.
• Bez opakování: 5 × 4 × 3 = 60 čísel.
• Sudá bez opakování: 4 × 3 × 2 = 24 čísel (jednotky sudé = 2 možnosti, desítky 4, stovky 3).