Anežka si vybírá oblečení
Anežka si ráno vybírá oblečení do školy. Ve své skříni má:
- 3 trička: červené, modré, zelené,
- 2 sukně: černou a bílou.
a) Vypiš všechny možné kombinace (tričko + sukně), které Anežka může nosit.
b) Kolik kombinací je celkem?
c) Kolik kombinací by Anežka měla, kdyby přidala do skříně čtvrté tričko (žluté)?
Zobrazit řešení
Tato úloha procvičuje pravidlo součinu — jeden z nejdůležitějších principů kombinatoriky.
Pravidlo součinu: Pokud máš dvě nezávislá rozhodnutí, kde první má m možností a druhé n možností, celkem máš m × n kombinací.
V naší úloze: Anežka si vybírá tričko (3 možnosti) a pak sukni (2 možnosti). Pro každé tričko jsou 2 sukně, takže celkem 3 × 2 = 6 kombinací.
Důležitá poznámka: Pravidlo součinu funguje, když jsou rozhodnutí nezávislá — výběr trička neovlivňuje, jakou sukni si vybereš (a naopak). Pokud by například jedno tričko nešlo nosit s černou sukní, museli bychom kombinace počítat opatrněji.
Strategie pro tuto úlohu: Pro malé počty vypsání všech kombinací (jako v části a) je dobré pro pochopení. Pro větší čísla použij pravidlo součinu (jako v části b a c).
-
Všechny kombinace.
Systematicky kombinujeme každé tričko s každou sukní:
1. červené tričko + černá sukně
2. červené tričko + bílá sukně
3. modré tričko + černá sukně
4. modré tričko + bílá sukně
5. zelené tričko + černá sukně
6. zelené tričko + bílá sukně
Celkem 6 kombinací. -
Celkový počet kombinací (pravidlem součinu).
3 trička × 2 sukně = 6 kombinací.
Souhlasí s výpisem v části a) ✓. -
Po přidání čtvrtého trička.
4 trička × 2 sukně = 8 kombinací.
Anežka by měla o 2 nové kombinace navíc — žluté tričko se 2 sukněmi.
a) Šest kombinací: červené+černá, červené+bílá, modré+černá, modré+bílá, zelené+černá, zelené+bílá.
b) Celkem 6 kombinací (3 × 2).
c) Se čtvrtým tričkem: 8 kombinací (4 × 2).
Častá chyba č. 1: Sčítání místo násobení. Žák napíše „3 trička + 2 sukně = 5 kombinací." To je úplně špatně — sčítání by odpovídalo otázce „kolik kusů oblečení má v skříni", ne „kolik různých kombinací." Pro kombinace násob, nikdy nesčítej.
Častá chyba č. 2: Zapomenutí na nějakou kombinaci ve výpisu. Při ručním vypisování pomáhá systematický přístup: probrat nejdřív všechny kombinace prvního trička, pak druhého, pak třetího (nebo opačně — všechny kombinace s první sukní, pak s druhou). Tak nezapomeneš žádnou.
Tip pro CERMAT: U úloh „kolika způsoby" si vždy rozeber rozhodnutí na jednotlivé kroky a pro každý krok urči, kolik je možností. Pokud jsou rozhodnutí nezávislá, počty vynásob.
Pravidlo součinu pro tři rozhodnutí: Pokud Anežka přidá ještě výběr obuvi (3 páry: tenisky, balerínky, holínky), bude mít 3 × 2 × 3 = 18 kombinací (tričko × sukně × bota). Princip se stejně rozšiřuje na libovolný počet nezávislých rozhodnutí.
Pomůcka „strom rozhodnutí": Pro vizualizaci nakresli „strom":
• Od kořene 3 větve pro 3 trička.
• Z každé větve 2 podvětve pro 2 sukně.
Celkem listů (konců) stromu = 3 × 2 = 6. Každý list je jedna kombinace.