Tři přímky v rovině
V rovině jsou nakresleny tři přímky p, q, r. Víš o nich:
- Přímky p a q jsou rovnoběžné.
- Přímka r protíná obě přímky p i q.
a) Kolik průsečíků vznikne, když se tři přímky takto „potkají"?
b) Které dvojice přímek jsou rovnoběžné a které různoběžné?
c) Pokud bys přímku r posunul (nebo otočil) tak, aby byla kolmá na p, byla by potom kolmá také na q?
Zobrazit řešení
Tato úloha procvičuje základní pojmy z geometrie přímek a jejich vzájemné polohy:
• Rovnoběžné přímky se nikdy neprotnou. V rovině jdou „vedle sebe" stejným směrem.
• Různoběžné přímky mají právě jeden průsečík.
• Kolmice (kolmé přímky) jsou speciální případ různoběžek — protínají se v pravém úhlu (90°).
Klíčová geometrická vlastnost, kterou si zapamatuj: kolmice na jednu ze dvou rovnoběžných přímek je kolmá i na druhou. To vyplývá z faktu, že rovnoběžné přímky jdou stejným směrem — pokud něco protíná jednu pod úhlem 90°, musí to protínat i druhou pod stejným úhlem.
-
Počet průsečíků.
Přímky p a q jsou rovnoběžné — neprotnou se. Mezi p a q žádný průsečík není.
Přímka r protíná p v jednom bodě, a q v jiném bodě.
Celkem tedy 2 průsečíky. -
Klasifikace dvojic.
Mezi třemi přímkami existují celkem 3 dvojice:
• p a q: rovnoběžné (zadáno).
• p a r: různoběžné (jeden průsečík).
• q a r: různoběžné (jeden průsečík). -
Otázka o kolmosti.
Ano, pokud r ⊥ p, pak je také r ⊥ q.
Důvod: p a q jsou rovnoběžné, jdou stejným směrem. Pokud r „protíná p kolmo" (pod úhlem 90°), musí stejně tak protínat i q (která má stejný směr jako p).
Toto pravidlo je tak důležité, že má vlastní název: kolmice na jednu ze dvou rovnoběžek je kolmá také na druhou.
a) Vznikne 2 průsečíky (mezi r a p, mezi r a q).
b) Rovnoběžné: p a q. Různoběžné: p a r, q a r.
c) Ano — pokud je r kolmá na p, je nutně kolmá i na q (kvůli rovnoběžnosti p a q).
Častá chyba č. 1: Záměna „rovnoběžné" a „totožné". Dvě totožné přímky jsou speciální případ rovnoběžek (mají všechny body společné), ale na obrázku byste pak viděli jen jednu čáru. Rovnoběžky, které vidíš na obrázku jako dvě různé čáry, jsou „skutečně rovnoběžné" — jdou vedle sebe, ale nesplývají.
Častá chyba č. 2: „Skoro kolmé ≠ kolmé." Občas přímka vypadá na obrázku „skoro" kolmo, ale není to přesně 90°. Pokud zadání neříká, že přímky jsou kolmé, nemůžeš to předpokládat. Vždy se opírej o to, co zadání tvrdí, ne o to, jak obrázek vypadá.
Tip pro CERMAT: Když máš úlohu „kolik průsečíků vznikne z X přímek", postupuj systematicky: každá dvojice přímek přidá nula (rovnoběžné), jeden (různoběžné) nebo nekonečno (totožné) průsečíků. Sečti počet jednotlivých dvojic.
Pomůcka „symbol kolmosti": Kolmost se značí ⊥. Tedy p ⊥ q znamená „p je kolmá na q". Rovnoběžnost se značí ∥ (dvě svislé čáry). Tedy p ∥ q znamená „p je rovnoběžná s q". Tyto symboly se vyplatí znát už od 5. třídy.