Schody z kostek
Tomáš postavil ze 6 jednotkových hracích kostek (každá 1 cm × 1 cm × 1 cm) malé schodiště. Stavba je 1 kostku široká a vypadá takto z boku:
Tedy: první patro (na zemi) má 3 kostky vedle sebe v řadě (zepředu dozadu). Druhé patro má 2 kostky na zadních dvou kostkách první patro. Třetí patro má 1 kostku úplně vzadu nahoře.
a) Kolik kostek je celkem ve stavbě?
b) Když se podíváš na stavbu shora (z ptačí perspektivy), kolik jednotkových čtverců (vrchních stěn kostek) celkem uvidíš?
c) Pokud bys natřel barvou všechny viditelné stěny stavby (tedy ne ty, které se dotýkají jiné kostky nebo podlahy), kolik jednotkových čtverců bys natřel?
Zobrazit řešení
Tato úloha vyžaduje prostorovou představivost a systematické počítání. Klíč je nepodlehnout panice z 3D — postupuj patro po patru a kostka po kostce.
Strategie pro úlohu „pohled shora": Představ si, že stavbu fotíš shora. Z každé „sloupce" (vertikálního stacku kostek) uvidíš vrch nejvyšší kostky v tom sloupci. Stavba má 3 sloupce (vepředu, uprostřed, vzadu) — tedy uvidíš 3 vrchní stěny.
Strategie pro úlohu „natřené stěny": Spočítej všechny stěny všech kostek (každá má 6 stěn). Pak odečti stěny, které jsou schované — buď se dotýkají jiné kostky (kontakt mezi dvěma kostkami skryje 2 stěny: jednu z každé) nebo se dotýkají podlahy (skrývá 1 stěnu na spodku kostky).
-
Počet kostek celkem.
1. patro: 3 kostky.
2. patro: 2 kostky.
3. patro: 1 kostka.
Celkem: 3 + 2 + 1 = 6 kostek. -
Pohled shora.
Stavba má 3 sloupce (vepředu, uprostřed, vzadu). Z každého sloupce vidíme shora pouze vrch jeho nejvyšší kostky:
• Vepředu (sloupec výšky 1): vrch jediné kostky → 1 čtverec.
• Uprostřed (sloupec výšky 2): vrch horní kostky (2. patro) → 1 čtverec.
• Vzadu (sloupec výšky 3): vrch nejvyšší kostky (3. patro) → 1 čtverec.
Celkem shora: 3 jednotkové čtverce. -
Natřené (viditelné) stěny.
Celkový počet stěn všech 6 kostek: 6 × 6 = 36 stěn.
Spočítáme schované stěny:
Kontakty mezi kostkami (každý kontakt skryje 2 stěny):
• 1. patro mezi sebou: 2 kontakty (přední-prostřední, prostřední-zadní) → 4 schované stěny.
• 2. patro mezi sebou: 1 kontakt → 2 schované stěny.
• 2. patro a 1. patro pod ním: 2 kontakty → 4 schované stěny.
• 3. patro a 2. patro pod ním: 1 kontakt → 2 schované stěny.
Celkem mezi-kostkové kontakty: 6 × 2 = 12 schovaných stěn.
Kontakty s podlahou (každý skryje 1 stěnu — spodek kostky):
3 kostky v 1. patře se dotýkají podlahy → 3 schované stěny.
Celkem schované: 12 + 3 = 15 stěn.
Viditelné (natřené): 36 − 15 = 21 stěn.
Kontrola počítáním pro každou kostku zvlášť:
• Přední kostka (1. patro, 1 sloupec, výška 1): podlaha skryje 1, spodní kostka v 1. patře sousední skryje 1. Vidíme: nahoru, vpředu, vlevo, vpravo, dozadu? Dozadu sousedí s prostřední kostkou, ta skryje. Tedy 4 vidíme (vrch, předek, levá, pravá).
• … (přesný součet všech 6 kostek vychází 21 ✓)
a) Stavba obsahuje 6 kostek.
b) Shora vidíš 3 jednotkové čtverce.
c) Natřel bys 21 jednotkových čtverců.
Častá chyba č. 1: Při počítání viditelných stěn zapomeneš na spodní stěny, které se dotýkají podlahy. Ty se sice nedotýkají jiné kostky, ale taky se nedají natřít (jsou na podlaze). Pamatuj: stěna na podlaze se nepočítá jako natřitelná.
Častá chyba č. 2: Při počítání mezi-kostkových kontaktů spočítáš každý kontakt jako 1 schovanou stěnu místo 2. Když se dvě kostky dotýkají, obě z nich mají v místě kontaktu jednu stěnu nepřístupnou — to jsou 2 schované stěny na jeden kontakt.
Tip pro CERMAT: U stavebnicových úloh s kostkami si vždy rozeber stavbu po patrech (1. patro, 2. patro, …) a postupně si počítej. Při pohledu shora hledej nejvyšší kostku v každém sloupci. Při počítání povrchu odečítej kontakty a podlahu zvlášť.
Pomůcka „nakresli si pohledy": Pro úlohy s pohledy na 3D stavby si nakresli „mapu shora" a „pohled zepředu" a „pohled z boku" — všechny tři 2D obrázky. Tato trojice pohledů (= „axonometrie" v techlibrární praxi) ti pomůže udržet si představu o tvaru stavby.
Souhrn vzorců pro povrch z kostek:
• Začni s celkem 6 × N stěn (kde N je počet kostek).
• Odečti 2 × K za každý kontakt mezi kostkami (K = počet kontaktů).
• Odečti 1 × P za každou kostku dotýkající se podlahy (P = počet těchto kostek).
• Výsledek: viditelné stěny = 6N − 2K − P.