Síť krychle
Krychli lze „rozložit" do roviny — vytvoříme tak její síť. Krychle má 6 stěn, takže síť obsahuje 6 čtverců. Jedna z nejznámějších sítí má tvar latinského kříže (1-4-1):
Když síť složíme do krychle, některé dvojice stěn budou protilehlé (naproti sobě, takže se nedotýkají).
a) Které stěny budou navzájem protilehlé? Najdi všechny dvojice.
b) Kolik celkem dvojic protilehlých stěn má krychle?
c) Vypiš jednu trojici stěn, které se po složení krychle stýkají v jednom vrcholu (krychle má 8 vrcholů, každý je sdílen 3 stěnami).
Zobrazit řešení
Pochopení sítě krychle vyžaduje prostorovou představivost. Klíčové je „v hlavě" si představit, jak by se síť poskládala, kdybychom postupně ohýbali stěny po hranách.
U kříže 1-4-1 začneme s prostřední stěnou („předek") jako podlahou krychle. Stěny po stranách (levá, pravá, zadek) se zvedají vzhůru jako stěny. Stěna nahoře sítě („vrch") se ohne dolů a stane se stropem. A stěna nejvíc dole („spodek") se ohne nahoru… ne, ohne se a stane se zadní stěnou (nebo přední, podle úhlu pohledu). Konkrétně po složení této sítě:
• „předek" je vepředu (jak název napovídá),
• „vrch" je nahoře, „spodek" je dole,
• „levá" a „pravá" jsou po stranách,
• „zadek" se ohne a stane se vzadu.
Protilehlé stěny v krychli jsou ty, které se nikdy nedotýkají (oddělené jednou stěnou „mezi" sebou).
-
Dvojice protilehlých stěn.
Když síť složíme do krychle:
• vrch ↔ spodek — strop a podlaha jsou navzájem naproti.
• předek ↔ zadek — to, co bylo úplně vlevo na pruhu „1-4-1", se ohne a stane se zadní stěnou; tedy „předek" (úplně vlevo? Ne, prostřední čtverec pruhu 4-4 byl označen „předek". A „zadek" byl úplně vpravo na vodorovném pruhu, takže se po složení ocitne přesně naproti „předku".)
• levá ↔ pravá — levá a pravá stěna jsou naproti sobě.
Logika protilehlých dvojic: mezi protilehlými stěnami v síti je vždy právě jedna „přeskočená" stěna. V síti kříže 1-4-1 jsou dvojice protilehlých stěn ty, mezi nimiž je v pruhu „dvě hodiny chůze" (přes prostředek): tedy první a třetí čtverec v pruhu, druhý a čtvrtý. Stejně tak vrch a spodek mají mezi sebou „předek" (prostřední čtverec horizontálního pruhu). -
Počet dvojic protilehlých stěn.
Krychle má 6 stěn a každá z nich má právě jednu protilehlou. Tedy stěny tvoří 3 dvojice protilehlých stěn.
(Vrch-spodek, předek-zadek, levá-pravá.) -
Trojice stěn se společným vrcholem.
V každém z 8 vrcholů krychle se stýkají právě 3 stěny — vždy 3 vzájemně nepříbuzné (žádné dvě nejsou protilehlé).
Jedna taková trojice (jeden z 8 vrcholů): vrch + předek + pravá. Tyto tři stěny se setkávají v rohu krychle „vepředu, vpravo, nahoře".
Další možné trojice (každá odpovídá jednomu vrcholu krychle):
• vrch + předek + levá (vepředu vlevo nahoře)
• vrch + zadek + pravá
• vrch + zadek + levá
• spodek + předek + pravá
• spodek + předek + levá
• spodek + zadek + pravá
• spodek + zadek + levá
Celkem 8 trojic = 8 vrcholů krychle.
a) Dvojice protilehlých stěn: vrch ↔ spodek, předek ↔ zadek, levá ↔ pravá.
b) Krychle má 3 dvojice protilehlých stěn.
c) Příklad trojice stěn ve vrcholu: vrch + předek + pravá (vrchol vepředu vpravo nahoře). Trojic je celkem 8.
Častá chyba č. 1: Žák ke každé stěně přiřadí jako protilehlou tu, která s ní v síti sousedí. Ale protilehlé = naproti, ne sousední. V síti jsou protilehlé stěny ob jednu — mezi nimi je vždy „mezikus" stěny.
Častá chyba č. 2: Žák myslí, že v jednom vrcholu krychle se setkávají 2 stěny (jako u dveří v rohu místnosti). Není to tak. V každém rohu krychle se setkávají tři stěny — strop, jedna boční a buď přední nebo zadní. Pomůcka: pohlídni si na roh místnosti, kde se setkává strop, podlaha (ne, jen strop, protože jsme nahoře), dvě stěny.
Tip pro CERMAT: U úloh se sítěmi krychle si pomůžeš tak, že si v hlavě složíš síť. Začni s jednou stěnou jako podlahou a postupně „zvedáš" sousední stěny vzhůru jako kdyby to byly stěny krabice. Trénovat tuhle dovednost se vyplatí — CERMAT testuje sítě často.
Pomůcka „11 sítí krychle": Existuje přesně 11 různých sítí, ze kterých lze složit krychli. Některé tvary se mohou zdát „jiné", ale jsou jen otočenou kopií jiné platné sítě. Nejznámější jsou tvar kříže (1-4-1), tvar T (3-2-1), tvar zigzag (2-3-1 lomený), a další. Žádná síť obsahující čtverec 2 × 2 nejde složit (protože v takovém bloku by čtyři stěny musely být sousedské všechny navzájem, což u krychle není možné).