Krychle a kvádr
Tomáš dostal úkol důkladně prozkoumat dvě tělesa: krychli (jako herní kostka) a kvádr (jako krabice od bot).
a) Spočítej u krychle počet stěn, hran a vrcholů.
b) Spočítej totéž u kvádru.
c) Najdi alespoň tři vlastnosti, které mají krychle a kvádr společné.
Zobrazit řešení
Krychle a kvádr jsou tzv. hranoly s obdélníkovou podstavou. Krychle je speciální případ kvádru, kde všechny stěny jsou čtverce (a všechny hrany stejně dlouhé). Mají proto velmi podobnou strukturu.
Klíčové pojmy:
• Stěna — plochá část povrchu tělesa (např. „spodní stěna", „přední stěna").
• Hrana — úsečka, kde se setkávají dvě stěny.
• Vrchol — bod, kde se setkávají tři hrany.
U krychle i kvádru lze stěny dobře spočítat tak, že si představíš krabici: má vrchní a spodní (= 2), přední a zadní (= 2), levou a pravou (= 2). Celkem 6 stěn.
-
Krychle.
Stěny: 6 — vrchní, spodní, přední, zadní, levá, pravá. Všechny jsou čtverce.
Hrany: 12. Můžeš si je spočítat takto: 4 dole (okolo spodní stěny) + 4 nahoře (okolo vrchní) + 4 svislé (které spojují horní a dolní). Tedy 4 + 4 + 4 = 12.
Vrcholy: 8. Krychle má 4 vrcholy na spodní stěně a 4 na vrchní. Celkem 4 + 4 = 8. -
Kvádr.
Kvádr má stejnou strukturu jako krychle, jen jsou jeho hrany různě dlouhé. Jediný rozdíl je tvar stěn — u kvádru jsou stěny obecné obdélníky (ne nutně čtverce).
Stěny: 6 (obdélníky).
Hrany: 12.
Vrcholy: 8. -
Společné vlastnosti.
Krychle i kvádr mají:
1. Stejný počet stěn (6), hran (12) a vrcholů (8).
2. Všechny stěny jsou obdélníky (u krychle čtverce, což jsou speciální obdélníky).
3. Protilehlé stěny jsou rovnoběžné a navzájem shodné (například vrchní a spodní stěna mají stejný tvar i velikost).
4. Sousední stěny jsou kolmé (přední je kolmá na spodní, atd.).
5. V každém vrcholu se setkávají 3 hrany a 3 stěny.
6. Hrany lze rozdělit do 3 skupin rovnoběžných (např. 4 svislé, 4 vodorovné předo-zadní, 4 vodorovné levo-pravé).
a) Krychle má 6 stěn, 12 hran a 8 vrcholů.
b) Kvádr má stejně: 6 stěn, 12 hran, 8 vrcholů.
c) Krychle a kvádr mají stejný počet stěn/hran/vrcholů; všechny stěny jsou obdélníky; protilehlé stěny jsou rovnoběžné a shodné; sousední stěny jsou navzájem kolmé; v každém vrcholu se stýkají 3 hrany.
Častá chyba č. 1: Záměna hran a vrcholů. Vrchol je bod (jeden bod v prostoru), hrana je úsečka (čára spojující dva vrcholy). Pomůcka: u krabice je vrchol „roh", kde mě kousne, když do něj strčím nohu. Hrana je „lišta" okolo, po které můžeš jezdit prstem.
Častá chyba č. 2: Kvádr vypadá jiný než krychle, takže žák očekává jiné počty. Ale strukturálně je to úplně stejné těleso (oba jsou kvádrového typu / pravoúhlé hranoly). Krychle je jen kvádr, který má všechny strany stejné délky.
Tip pro CERMAT: U úloh o tělesech si vždy na rohu papíru nakresli těleso schématicky a postupně označuj vrcholy A, B, C, …, hrany barevně, stěny si pojmenuj (vrchní, spodní, …). Vizualizace zvyšuje šanci na správnou odpověď.
Pomůcka „Eulerova věta": Pro každé jednoduché těleso platí krásný vzorec: V − H + S = 2 (počet vrcholů mínus hran plus stěn = 2). U krychle: 8 − 12 + 6 = 2 ✓. U kvádru: 8 − 12 + 6 = 2 ✓. Tato věta funguje pro libovolný hranol, pyramidu, dokonce i pro fotbalový míč! Na 5. třídě ji nepotřebuješ, ale zapamatuj si ji.