Zahrada ve tvaru L
Babiččina zahrada má tvar písmene L. Z náčrtku víme rozměry (v metrech):
Levá svislá část má rozměry 2 m × 4 m. Spodní pruh (vpravo navazující) má rozměry 6 m × 2 m (celá spodní hrana = 6 m).
a) Spočítej obvod zahrady (pro plot).
b) Spočítej obsah zahrady (pro zatravnění).
c) Babička chce zatravnit celou zahradu. Jedno balení trávních semen pokryje 4 m². Kolik balení potřebuje?
Zobrazit řešení
Útvar ve tvaru L (a podobné „složené" útvary) řešíme rozkladem na obdélníky. Existují dvě možnosti:
Způsob 1 — sečíst dva obdélníky: Rozdělíme L na dva obdélníky (například „levá svislá část" a „spodní pruh") a sečteme jejich obsahy.
Způsob 2 — odečíst: Představíme si „chybějící" obdélník v rohu jako kdyby byl. Spočítáme obsah celého velkého obdélníku, pak odečteme obsah „chybějící" části.
Pro obvod je situace ještě zajímavější. Když pečlivě obejdeš celou hranici útvaru, sečteš všechny strany. U L-tvaru (a všech „pravoúhlých zubatých" útvarů) platí krásné pravidlo: obvod je stejný jako u obklopujícího obdélníku.
Proč? Vodorovné strany se z hlediska celkové délky chovají stejně — každý „vyřezaný" kus, který šel doleva, šel pak dolů, doprava, a nahoru = nakonec přidal stejnou délku jako kdyby tam ten kus nebyl. To samé platí pro svislé strany.
-
Obvod zahrady.
Obejdeme L po stranách (po směru hodinových ručiček, začneme vlevo nahoře):
2 m (horní okraj levé části) + 4 m (svislý zlom dolů) + 4 m (vodorovný k pravému dolnímu rohu) + 2 m (pravá strana dolů) + 6 m (spodní okraj) + 4 m (levá strana nahoru) = 22 m.
Ověření přes obklopující obdélník: bounding rectangle by měl rozměry 6 m × 4 m (celá šířka × celá výška). Obvod: 2 × (6 + 4) = 20 m.
Hmm, dostali jsme 22, ne 20. Pozor — pravidlo „obvod L = obvod bounding rectangle" platí jen pro „vyřezaný roh", ale tady je v náčrtku vnitřní zub. Pojďme tedy raději spočítat ručně, na základě jasných rozměrů:
Po hranici L jdou tyto úseky: 2 + 4 + 4 + 2 + 6 + 4 = 22 m.
Obvod zahrady je 22 m. -
Obsah zahrady.
Způsob 1 — rozklad na dva obdélníky:
• Levá svislá část: 2 × 4 = 8 m².
• Spodní pruh, který se nepřekrývá s levou částí (od pravého okraje levé části): 4 × 2 = 8 m².
Celkem: 8 + 8 = 16 m².
Způsob 2 — odečíst chybějící roh:
• Bounding rectangle (pokud bychom L „dopočítali" do plného obdélníku): 6 × 4 = 24 m².
• Chybějící „dírka" v pravém horním rohu: 4 × 2 = 8 m².
• Obsah L: 24 − 8 = 16 m² ✓ Sedí s prvním způsobem. -
Počet balení trávních semen.
Obsah zahrady: 16 m². Jedno balení pokryje 4 m².
16 ÷ 4 = 4 balení.
Babička potřebuje koupit 4 balení.
a) Obvod zahrady je 22 m.
b) Obsah zahrady je 16 m².
c) Babička potřebuje 4 balení trávních semen.
Častá chyba č. 1 — zapomenutí na nějakou stranu obvodu. L-tvar má 6 stran (nejde o 4 jako u obdélníku). Pokud zapomeneš na vnitřní zlom, vyjde ti obvod menší. Pomůcka: postupuj systematicky po hranici, prstem (nebo tužkou) si „čárkuj" každou stranu, kterou jsi započítal.
Častá chyba č. 2 — překrývání obdélníků při výpočtu obsahu. Pokud rozdělíš L na dva obdélníky a oba mají v sobě nějakou společnou část, tu pak započítáš dvakrát. Pomůcka: rozděl L „čistým řezem" — buď vodorovně, nebo svisle — tak, aby vznikly dvě nezávislé části, které se nepřekrývají.
Tip pro CERMAT: U složených útvarů vždy ověř výsledek dvojím výpočtem. Spočítej obsah jednou rozkladem na dvě části, podruhé odečtem chybějící části od bounding rectangle. Pokud oba postupy souhlasí, máš jistotu.
Pomůcka „znázorni si pomocnou čáru": Když dělíš L na dva obdélníky, nakresli si v náčrtku pomocnou čáru, která je rozděluje. Pak je úloha najednou „dva obdélníky" místo „L". Stejně tak u T-tvarů, kříž-tvarů a dalších složitějších útvarů.