Kamarádi kolem kostela
Uprostřed městečka stojí kostel. Tomáš si na mapě nakreslil kružnici se středem v kostele a poloměrem 1 000 m. Pět kamarádů bydlí v různých vzdálenostech od kostela:
- Anička bydlí 600 m od kostela.
- Bára bydlí 1 000 m od kostela.
- Cilka bydlí 1 200 m od kostela.
- David bydlí 800 m od kostela.
- Eva bydlí 1 500 m od kostela.
a) Kteří kamarádi bydlí uvnitř kružnice?
b) Kteří bydlí na kružnici?
c) Kteří bydlí vně kružnice?
Zobrazit řešení
Kružnice je množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od jednoho středového bodu. Tato vzdálenost je poloměr. V naší úloze je středem kostel a poloměr je 1 000 m.
Pro jakýkoli bod (například dům kamaráda) jsou možné tři situace v závislosti na jeho vzdálenosti od středu:
• Vzdálenost menší než poloměr → bod leží uvnitř kružnice.
• Vzdálenost rovná poloměru → bod leží na kružnici.
• Vzdálenost větší než poloměr → bod leží vně kružnice.
Důležité: rozdíl mezi „kruh" a „kružnice".
• Kružnice je jen obvodová čára — sama množina bodů ve vzdálenosti přesně poloměru.
• Kruh je celá plocha včetně vnitřku — všechny body do vzdálenosti poloměru.
V této úloze pracujeme s kružnicí, ale „uvnitř kružnice" myslíme „uvnitř kruhu, který kružnice tvoří".
-
Kamarádi uvnitř kružnice.
Hledáme ty, kteří mají vzdálenost menší než 1 000 m.
Anička: 600 m < 1 000 m ✓
David: 800 m < 1 000 m ✓
Uvnitř kružnice bydlí Anička a David. -
Kamarádi na kružnici.
Hledáme ty, kteří mají vzdálenost přesně 1 000 m.
Bára: 1 000 m = 1 000 m ✓
Na kružnici bydlí Bára. -
Kamarádi vně kružnice.
Hledáme ty, kteří mají vzdálenost větší než 1 000 m.
Cilka: 1 200 m > 1 000 m ✓
Eva: 1 500 m > 1 000 m ✓
Vně kružnice bydlí Cilka a Eva.
Kontrola: 2 + 1 + 2 = 5 kamarádů. ✓ Každý kamarád spadá do jedné kategorie.
a) Uvnitř kružnice bydlí Anička a David.
b) Na kružnici bydlí Bára.
c) Vně kružnice bydlí Cilka a Eva.
Častá chyba č. 1 — záměna „kružnice" a „kruh". Kružnice je samotná čára obvodu (jako kroužek). Kruh je celá plocha včetně vnitřku (jako talíř). V matematice se tyto pojmy nezaměňují, na 5. třídě by se měly začít rozlišovat.
Častá chyba č. 2 — „na kružnici" ≠ „uvnitř kružnice". Pokud vzdálenost přesně sedí poloměru (1 000 m), bod leží na kružnici, ne uvnitř. „Uvnitř" znamená vzdálenost striktně menší než poloměr.
Tip pro CERMAT: U úloh s kružnicí si vždy porovnej vzdálenost s poloměrem — menší, stejná, větší. Tyto tři případy řeší prakticky všechny otázky o vzájemné poloze bodu a kružnice.
Pomůcka „kompas": Pokud bys narýsoval kružnici kružítkem, špička by byla ve středu a tužka opisuje hranici. Cokoli, kde tužka projde, je na kružnici. Cokoli mezi tužkou a špičkou je uvnitř. Cokoli za tužkou je vně.
Pojmy ke znamenitění:
• Střed — bod, ze kterého se měří poloměr.
• Poloměr (r) — vzdálenost ze středu k libovolnému bodu kružnice.
• Průměr (d) — úsečka procházející středem, jejíž oba krajní body leží na kružnici. Platí d = 2 × r.